外弹道学的作用于弹丸的力和力矩
作用于弹丸的空气动力与空气的性质（温度、压力、粘性等）、弹丸的特性（形状、大小等）、飞行姿态以及弹丸与空气相对速度的大小等有关。当弹丸飞行速度矢量V与弹轴的夹角δ（称为攻角或章动角）为零时，空气对弹丸的总阻力R的方向与V相反，它使弹丸减速，称为迎面阻力。当攻角不为零时，R可分解为与V方向相反的迎面阻力Rx和与V垂直的升力Ry，后者使弹丸向升力方向偏移。由于总阻力的作用点（称为阻心或压心）与弹丸的质心并非恰好重合，因而形成了一个静力矩Mz。它使旋转弹丸的攻角增大而使尾翼弹丸的攻角减少，因而分别称为翻转力矩和稳定力矩。当弹轴有摆动角速度时，弹丸周围的空气将产生阻滞其摆动的赤道阻尼力矩M；当弹丸有绕轴的自转角速度时，将形成阻滞其自转的极阻尼力矩Mxj。如自转时有攻角存在，还将形成一个与攻角平面垂直的侧向力和力矩，称为马格纳斯力（Magnus force) Rxm和马格纳斯力矩Mym。这些力和力矩如图1所示。在诸空气动力中，迎面阻力、升力和静力矩对弹丸运动影响较大，它们的表达式如下：式中的Сx、Сy、mz分别为阻力系数、升力系数和静力矩系数。它们均为马赫数M和攻角δ的函数；S、l、ρ分别为弹丸横截面积、弹长和空气密度。此外，随时间、地点和高度的不同而变化的气象因素（如气温、气压和风等），将直接影响空气的密度和弹丸与空气的相对速度，使空气动力发生变化。通常气温高、气压低或顺风均使射程增大，反之则减小。横风将使弹丸侧偏。但火箭弹道的主动段，由于有推力存在，风的影响规律比较复杂，与枪炮弹丸的弹道不同。要准确地描述弹丸运动的规律，有赖于对上述空气动力的准确测量，测量的方法通常有风洞法和射击法两类，后者已发展成为实验外弹道学的主要内容。
外弹道学的弹丸的绕心运动
弹丸在作质心运动的同时作绕心运动。当攻角不大时，绕心运动可用线性理论来描述。起始扰动引起攻角的大小呈周期性变化。攻角平面在空中绕速度矢量旋转，与攻角相应的升力矢量也将在空中旋转，使弹丸质心运动的轨迹成为一条空中螺旋线。螺旋线的轴线向一方偏离形成平均偏角，它的大小和相应主要与随机变化的起始扰动有关。这是造成跳角及其散布，特别是低伸弹道高低和方向散布的重要原因。由重力引起的非周期性变化的攻角称为动力平衡角。它对于右（左）旋弹丸主要偏向弹道右（左）方，与其相应的升力产生使弹丸向右（左）侧运动的偏流。此外，由于弹丸攻角大小的变化，还将引起迎面阻力的增大和变化，使射程减小并产生散布。对于尾翼稳定弹丸绕心运动对质心运动的影响，除了不形成偏流外，其他与旋转弹丸相似。由绕心运动的规律可以确定弹丸的飞行稳定性，即保证弹丸在飞行全过程中攻角始终减小或不超过某一最大限度。这是保证弹丸具有良好射击精度的必要条件。弹丸的飞行稳定性取决于它的运动参量、气动力参量和结构参量。尾翼稳定弹丸利用其尾翼作用使阻心移到质心后面，形成稳定力矩使攻角不致增大，称为静态稳定弹。一般阻心与质心间的距离达到全弹长的10～15%时，就能保证良好的静态稳定性。旋转弹丸不具有静态稳定性，但当其旋转速度不低于某个最低值时，就可以依靠陀螺效应使弹轴围绕某个平均位置旋转与摆动，不致因翻转力矩的作用而翻转，即具有陀螺稳定性。在重力作用下弹道是逐渐向下弯曲的，如果弹轴不能追随弹道切线以同样的角速度向下转动，势必形成攻角增大甚至弹底着地。旋转弹丸由于有动力平衡角存在，与其相应的翻转力矩将迫使弹轴追随弹道切线向下转动，因而具有追随稳定性。为了保证攻角始终较小，动力平衡角也不能过大。如果弹丸旋转速度太高，其陀螺定向性过强，就可能造成动力平衡角过大，因此又必须限制转速不超过某一个最高值。由保证陀螺稳定的最低转速和保证追随稳定的最高转速，可以确定相应的膛线缠度η（以口径d的倍数表示膛线旋转一周时的前进距离）的上下限。通常枪炮的膛线缠度均在其上限的0.70～0.85范围内选取（图4）。膛线缠度η 主要由弹丸的结构参量、阻心位置和翻转力矩系数来确定。静态稳定的尾翼弹丸同时具有追随稳定性。此外，具有静态稳定的尾翼弹丸或具有陀螺稳定和追随稳定的旋转弹丸，其弹轴摆动虽是周期性的，但摆动的幅值可能因条件不同而逐渐衰减或逐渐增大。为了保证弹丸的飞行稳定性，还必须要求摆动幅值始终衰减，即要求弹丸具有动态稳定性。动态稳定性与其升力、静力矩、赤道阻尼力矩、极阻尼力矩和马格纳斯力矩等有关。 19世纪中叶，用线膛炮发射长圆形弹丸成功后，许多国家竞相研究弹丸的绕心运动，先后创立了旋转理论和摆动理论，并逐步确定出判定弹丸飞行稳定性的准则。20世纪以来，随着外弹道测试仪器和测试方法的进步，特别是风洞测试技术和靶道技术的发展以及闪光照像，电子计算机技术，激光、雷达、遥测技术，多普勒测速装置等应用于弹道测试后，对弹丸运动姿态和空气动力的测量日趋精密、完善和准确，逐渐形成了以线性理论为基础的动态稳定性概念，建立了动态稳定性的判别准则。50年代中期，发现了在大攻角条件下作用于弹丸的空气动力存在着严重的非线性现象，从而促使对非线性稳定理论进行研究。随着弹道测量技术的提高，新弹形气动特性的探索与发射动力学研究的开展，非线性稳定理论、弹道设计优化理论以及弹丸流场的数值分析等理论研究的进一步深入，必将推动外弹道学的进一步发展和完善。
现代外弹道学(3)——作用在弹丸上的力和力矩
弹道学上的气动力系统与飞机飞行力学上的气动力系统存在着不同，但是在使用过程中两者之间并没有显著的差别，可以进行快速的相互转换。在本书中，作者（R. L. McCoy）更倾向于使用 BRL(美国弹道研究所) 的气动力及坐标系统，这与著名弹道学者 C. H. Murphy的气动弹道坐标系是相同的。 在定义气动力之前，先做出以下假设： 弹丸的运动通过俯仰（pitch）和偏航（yaw）表示，弹体姿态采用高低和水平攻角表示。 采用数学的方法描述弹丸运动，需要首先建立坐标系。下图中，基准坐标系 O-XYZ 以炮口为坐标原点，弹体的速度由速度矢量 v 表示，弹体姿态由掸轴矢量 x 表示，两个矢量之间的夹角即总攻角。 弹丸的运动由作用在弹丸上的力和力矩决定，其中力影响质心的线运动，力矩影响姿态的角运动。力和力矩的大小由动压和气动系数表示，方向由速度矢量和弹轴矢量表示，这种表示方法相对比较直观易懂。 下文逐一将作用在弹丸山的作用力和力矩列举出来，并作简要说明。 阻力是气动力中最主要的部分，也是最先被研究的气动力。阻力的方向与速度方向相反。 其中，阻力系数由零攻角阻力和诱导阻力两部分组成。在简易弹道计算中，可以采用弹形系数和43年阻力定律来表示阻力的大小。 由于气体粘性的作用，弹丸在飞行过程中转速会随着时间衰减，滚转阻尼力矩就是造成转速衰减的作用源头。滚转阻尼力矩的方向与弹体滚转方向相反。 升力是垂直与阻力方向的作用力，与阻力一起构成了弹丸飞行中最主要的两个作用力。 常采用升力和阻力的比值来描述弹丸的气动性能。 升力/法向力会对弹丸产生一个力矩作用，这就是俯仰力矩，方向垂直与攻角平面。 马格努斯效应指的是，在有攻角的情况下，弹丸的高转速使得弹体左右侧的流场速度存在差异，进而形成压力差产生力的作用。因此，马格努斯力/力矩只在高转速的弹丸上表现明显。 气体的粘性会阻碍弹体的俯仰运动，从而产生俯仰阻尼力矩。 弹道方程的右侧就是作用在弹丸上的力和力矩，因此弹道模型和气动力存在这紧密的关联。入门级的质点弹道仅需要知道阻力系数即可，升力系数可以在质点弹道中添加机动性，滚转阻尼力矩的导数能够独立求解弹体的转速衰减。俯仰力矩能够计算弹体的角运动，但是仅限于低频的章动，从而形成修正质点弹道。当其他气动力项也能够提供时，就可以进行完整的6DoF弹道计算了。 但是，实际应用中往往一无所知，或者只有阻力系数。因此，弹道计算也是一个逐步完善的过程。一方面，需要大量的积累气动力数据；另一方面，需要了解气动力项与宏观运动的关联性，从而进行参数调试。 为了便于下一章书写刚体弹道方程，这里将上述气动力进行整理，得到如下简化记号： 说好的要努力翻译这本书的部分章节的，但是看到这么多的公式和聊天式的口语，我终究还是回到了列表笔记的套路上，希望也能对读者有所帮助吧。
外弹道学的弹丸的质心运动
在攻角为零、标准气象条件和其他一些基本假设下，弹丸质心运动的轨迹将是一条平面曲线（理想弹道）。它由初速V0、射角 θ0和弹道系数c（炸弹弹道还有投弹高度Η）完全确定。弹道系数c是反映弹丸受空气阻力影响大小的重要参量，c=id2×103/G，式中d、G分别为弹径和弹重；I=cx(M)/cxon(M）称为弹形系数，它是当攻角为零时弹丸阻力系数cx与某标准弹阻力系数cxon之比；M为马赫数（弹丸速度与音速之比）。弹道系数越小，对减小阻力、增大射程越有利。在同样的初速和射角条件下，弹道系数与射程的关系如图2所示。图中弹道系数是根据43年阻力定律得出的。外弹道学通常采用减小弹形系数、增加弹丸的长细比和选用高比重材料等方法来减小弹道系数。例如枣核弹，由于改善了弹头、弹尾的形状，减小了空气阻力，使弹形系数减小到 0.7左右；底部排气弹由于采用了底部排气技术，提高了弹底压力，使弹形系数进一步减小到 0.5左右；某些次口径穿甲弹，由于提高了初速、增大了长细比或采用钨、铀等高比重材料，不仅增大了射程，还提高了落速和穿甲能力。 研究质心运动规律的目的，在于准确地获得弹道上任意点的坐标、速度、弹道倾角和飞行时间等弹道诸元以及在非标准条件下的射击修正量。由初速、射角和弹道系数（炸弹还有投弹高度）等参量可以编制外弹道表，用以直接查取或求得顶点、落点乃至任意点的弹道诸元和有关的修正系数。火箭外弹道可分为有推力作用的主动段和无推力作用的被动段。被动段弹道与枪炮弹丸的弹道相同。在主动段内，火箭弹在发动机的推力作用下不断加速飞行，到主动段末，其速度达最大值Vk。Vk的大小主要取决于火箭推进剂的性能，推进剂重量W与火箭弹的起始重量G0的比值W/G0和弹形等。
