反函数的定义是什么
学好数学要依靠理解,“数学理解”应受到数学 教育 界的普遍关注。“反函数”是函数知识的重要组成部分,也是函数教学中的重点和难点,反函数的定义是什么?以下是我为大家整理的关于反函数的定义,欢迎大家前来阅读!
反函数的概念
所谓反函数就是将原函数中自变量与变量调换位置,用原函数的变量表示自变量而形成的函数。存在反函数的条件是原函数必须是一一对应的(不一定是整个数域内的)。
函数的定义
一般地,如果x与y关于某种对应关系f(x)相对应,y=f(x)。则y=f(x)的反函数为y=f^-1(x)。
存在反函数的条件是原函数必须是一一对应的(不一定是整个数域内的)
【反函数的性质】
(1)互为反函数的两个函数的图象关于直线y=x对称;
(2)函数存在反函数的充要条件是,函数的定义域与值域是一一映射;
(3)一个函数与它的反函数在相应区间上单调性一致;
(4)一般的偶函数一定不存在反函数(但一种特殊的偶函数存在反函数,例f(x)=a(x=0)它的反函数是f(x)=0(x=a)这是一种极特殊的函数),奇函数不一定存在反函数。若一个奇函数存在反函数,则它的反函数也是奇函数。
(5)一切隐函数具有反函数;
(6)一段连续的函数的单调性在对应区间内具有一致性;
(7)严格增(减)的函数一定有严格增(减)的反函数【反函数存在定理】。
(8)反函数是相互的
(9)定义域、值域相反对应法则互逆(三反)
(10)原函数一旦确定,反函数即确定(三定)
例:y=2x-1的反函数是y=0.5x+0.5
y=2^x的反函数是y=log2 x
例题:求函数3x-2的反函数
解:y=3x-2的定义域为R,值域为R.
由y=3x-2解得
x=1/3(y+2)
将x,y互换,则所求y=3x-2的反函数是
y=1/3(x+2)
反函数的基本性质
一般地,设函数y=f(x)(x∈A)的值域是C,根据这个函数中x,y 的关系,用y把x表示出,得到x= (y). 若对于y在C中的任何一个值,通过x= (y),x在A中都有唯一的值和它对应,那么,x= (y)就表示y是自变量,x是自变量y的函数,这样的函数x= (y)(y∈C)叫做函数y=f(x)(x∈A)的反函数,记作x=f^-1(y). 反函数y=f^-1(x)的定义域、值域分别是函数y=f(x)的值域、定义域.
说明:⑴在函数x=f^-1(y)中,y是自变量,x是函数,但习惯上,我们一般用x表示自变量,用y 表示函数,为此我们常常对调函数x=f^-1(y)中的字母x,y,把它改写成y=f^-1(x),今后凡无特别说明,函数y=f(x)的反函数都采用这种经过改写的形式.
⑵反函数也是函数,因为它符合函数的定义. 从反函数的定义可知,对于任意一个函数y=f(x)来说,不一定有反函数,若函数y=f(x)有反函数y=f^-1(x),那么函数y=f^-1(x)的反函数就是y=f(x),这就是说,函数y=f(x)与y=f^-1(x)互为反函数.
⑶从映射的定义可知,函数y=f(x)是定义域A到值域C的映射,而它的反函数y=f^-1(x)是集合C到集合A的映射,因此,函数y=f(x)的定义域正好是它的反函数y=f^-1(x)的值域;函数y=f(x)的值域正好是它的反函数y=f^-1(x)的定义域(如下表):
函数y=f(x)
反函数y=f^-1(x)
定义域
A C
值 域
C A
⑷上述定义用“逆”映射概念可叙述为:
若确定函数y=f(x)的映射f是函数的定义域到值域“上”的“一一映射”,那么由f的“逆”映射f^-1所确定的函数x=f^-1(x)就叫做函数y=f(x)的反函数. 反函数x=f^-1(x)的定义域、值域分别是函数y=f(x)的值域、定义域.
开始的两个例子:s=vt记为f(t)=vt,则它的反函数就可以写为f^-1(t)=t/v,同样y=2x+6记为f(x)=2x+6,则它的反函数为:f^-1(x)=x/2-3.
有时是反函数需要进行分类讨论,如:f(x)=X+1/X,需将X分类讨论:在X大于0时的情况,X小于0的情况,多是要注意的。一般分数函数的反函数的表示为y=ax+b/cx+d(a/c不等于b/d)--y=b-dx/cx+a
反函数的应用介绍
直接求原函数的值域困难时,可以通过求其反函数的定义域来确定原函数的值域,求反函数的步骤是这样的:
1、先求出反函数的定义域,因为原函数的值域就是反函数的定义域;
(我们知道函数的三要素是定义域、值域、对应法则,所以先求反函数的定义域是求反函数的第一步)
2、反解x,也就是用y来表示x;
3、改写,交换位置,也就是把x改成y,把y改成x;
4、写出原函数及其值域。
实例:y=2x+1(值域:任意实数) x=(y-1)/2 y=(x-1)/2(x取任意实数)
特别地,形如kx+ky=b的直线方程和任意一个反比例函数,它的反函数都是它本身。
反函数求解三步骤: 1、换:X、Y换位 2、解:解出Y 3、标:标出定义域
反函数的使用符号
符号
arc
用法
例:三角函数中
正弦函数和它的反函数:f(x)=sinx->x=arcsinx
余弦函数和它的反函数:f(x)=cosx->x=arccosx
正切函数和它的反函数:f(x)=tanx ->x=arctanx
余切函数和它的反函数:f(x)=cotx->x=arccotx
注解
反正弦的意义 ,则符合条件sinx=a(-1≤a≤1)的角x叫做a的反正弦,记作:arcsina,即x=arcsina. 注:1、“arcsina”表示中的一个角,其中-1≤a≤1. 2、sin(arcsina)=a. (二)、反余弦的意义 x∈[0,π],则符合条件cosx=a(-1≤a≤1)的角x叫做a的反余弦,记作arccosa,即x=arccosa. 注:1、“arccosa”表示[0,π]中的一个角,其中-1≤a≤1. 2、cos(arccosa)=a. (三)、反正切的意义 ,则符合条件tanx=a的角x叫做a的反正切,记作arctana,即x=arctana. 注:1、“arctana”表示中的一个角. 2、tan(arctana)=a. (四)、用反三角符号表示[0,2π]中角的一般规律
反函数的相关说明
⑴在函数x=f^(-1)(y)中,y是自变量,x是函数,但习惯上,我们一般用x表示自变量,用y 表示函数,为此我们常常对调函数x=f^(-1)(y)中的字母x,y,把它改写成y=f^(-1)(x),今后凡无特别说明,函数y=f(x)的反函数都采用这种经过改写的形式。
⑵反函数也是函数,因为它符合函数的定义. 从反函数的定义可知,对于任意一个函数y=f(x)来说,不一定有反函数,若函数y=f(x)有反函数y=f^(-1)(x),那么函数y=f’(x)的反函数就是y=f^(-1)(x),这就是说,函数y=f(x)与y=f^(-1)(x)互为反函数。
⑶互为反函数的两个函数在各自定义域内有相同的单调性。单调函数才有反函数,如二次函数在R内不是反函数,但在其单调增(减)的定义域内,可以求反函数。
⑷ 从映射的定义可知,函数y=f(x)是定义域A到值域C的映射,而它的反函数y=f^(-1)(x)是集合C到集合A的映射,因此,函数y=f(x)的定义域正好是它的反函数y=f^(-1)(x)的值域;函数y=f(x)的值域正好是它的反函数y=f^(-1)(x)的定义域(如下表):
函数:y=f(x);
反函数:y=f^(-1)(x);
定义域: A C;
值域: C A;
⑷上述定义用“逆”映射概念可叙述为:
若确定函数y=f(x)的映射f是函数的定义域到值域“上”的“一一映射”,那么由f的“逆”映射f^-1所确定的函数y=f^(-1)(x)就叫做函数y=f(x)的反函数. 反函数y=f‘(x)的定义域、值域分别是函数y=f(x)的值域、定义域. 开始的两个例子:s=vt记为f(t)=vt,则它的反函数就可以写为f^(-1)(s)=s/v,同样y=2x+6记为f(x)=2x+6,则它的反函数为:f^(-1)(x)=x/2-3.
有时是反函数需要进行分类讨论,如:f(x)=x+1/x,需将x分类讨论:在x大于0时的情况,x小于0的情况,多是要注意的。一般分数函数的反函数的表示为y=ax+b/cx+d(a/c不等于b/d)--y=b-dx/cx+a
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什么是反函数,举个例子
例子:y=2x,反函数是x=y/2。由y=2x得dy/dx=2,由x=y/2得dx/dy=1/2;显然二者互为倒数。反函数的性质:1、函数f(x)与它的反函数f-1(x)图象关于直线y=x对称。2、函数存在反函数的充要条件是,函数的定义域与值域是一一映射。3、一个函数与它的反函数在相应区间上单调性一致。反函数存在定理定理:严格单调函数必定有严格单调的反函数,并且二者单调性相同。在证明这个定理之前先介绍函数的严格单调性。设y=f(x)的定义域为D,值域为f(D)。如果对D中任意两点x1和x2,当x1y2,则称y=f(x)在D上严格单调递减。