梅森素数
据《新科学家》杂志网站2013年12月2日报道：
一位名叫迈克尔·谢弗的26岁化学工程学研究生，花费了两年的时间，于 2003年11月17日 发现了已知最大的素数。
这个素数可写成2的20996011次方减1，拥有6320430位数。这是当时人类发现的第40个梅森素数。
马林·梅森
素数是指在大于1的整数中只能被1和其自身整除的数。
素数有无穷多个，但到2018年底，却发现只有51个素数可以表示成2的p次方-1的形式（p为素数）。
这就是梅森素数（如3、7、31、127等），它是以17世纪法国数学家马林·梅森的名字命名的。以Mp记之（其中M为梅森姓名的首字母）。
早在公元前300多年，古希腊数学家欧几里得就开始研究2的p次方-1，并在《几何原本》中论述了其与完全数的关系。
其后，费马也提出了数论研究中的三个性质可以作为素数研究的基础。
梅森在他们两个人的基础上对2的p次方-1进行了大量的计算和验证。
他于1644年在自己的《物理数学随感》中断言，小于等于257的素数中，当p=2、3、5、7、13、17、19、31、67、127、257时，2的p次方－1是素数，其它都是合数。
前面的7个数（即p=2、3、5、7、13、17、19）已被前人所证实，而后面的4个数（即p=31、67、127、257）则是梅森自己的推断。
由于梅森在科学界有着崇高的学术地位，当时的人们对其断言都深信不疑。
后来人们才知道梅森的断言其实包含着许多错漏。
不过梅森的工作却极大地激发了人们研究梅森素数的热情。
几百年来的研究中，不同科学家否定了梅森所说的M67和M257是素数的断言。
增加了M61、M89、M107，这三个梅森遗漏的数字。
手工计算的时代，梅森素数的发现之旅异常艰辛。
而计算机的发明，让梅森素数的搜寻如虎添翼。
20世纪90年代中后期，在美国程序设计师沃特曼和库尔沃斯基等人的共同努力下，建立了世界上第一个基于互联网的分布式计算项目——因特网梅森素数大搜索（GIMPS）。
人们通过这个搜索系统，找到了最近的17个梅森素数。
2017年，日本虹色社出版社发行了一本书，名叫《2017年最大的素数》。
全书总共719页，只印了“一个数”，就是第50个梅森素数，简单来写就是2的77232917次方-1。
正常来写，就是一个共有23249425位数的数字。
这本超级无聊、超级丧心病狂的书，在日本亚马逊上架4天后就卖断了货。
梅森素数有哪些
目前仅发现51个梅森素数，最大的是M（即2－1），有24862048位。有一类素数能够通过一个简洁的公式用其他更小的素数表达出来，这些素数称为梅森素数。把素数2平方再减1，我们得到一个更大的素数3：22-1=3。素数是只能被1和自己整除的正整数。如果上式把平方改成立方，23-1=7，我们就能得到另一个更大的素数7。也许我们能够一直这样操作下去。那么，是不是所有素数之间都有这么简洁的关系呢？梅森素数以17世纪法国修士马林·梅森的名字命名。素数通用公式？上段提到的公式：2的p次方-1=另一个素数，是否适用于所有的素数呢？上面已经验证公式对素数2和3是成立的。那么下一个素数5呢？2的5次方-1=31。哇！31可真是素数呢！然后，2的7次方-1=127。127也是一个素数！所以，上述公式对5和7也是成立的。
完全数的梅森素数
古希腊数学家欧几里得在名著《几何原本》中证明了素数有无穷多个，并论述完全数时提出：如果2^P-1是素数(其中指数P也是素数)，则2^(P-1)(2^P-1)是完全数。瑞士数学家和物理学家欧拉证明所有的偶完全数都有这种形式。因此，人们只要找到2^P-1型素数，就可以发现偶完全数了。数学界将2^P-1型素数称为“梅森素数”(Mersenne prime)，因为法国数学家和法兰西科学院奠基人梅森在这方面的研究成果较为卓著。梅森素数貌似简单，但探究难度却极大。它不仅需要高深的理论和纯熟的技巧，而且还需要进行艰巨的计算。到2013年2月6日为止，人类仅发现48个梅森素数。值得提出的是：在梅森素数的基础研究方面，法国数学家鲁卡斯和美国数学家雷默都做出了重要贡献；以他们命名的“鲁卡斯-雷默方法”是目前已知的检测梅森素数素性的最佳方法。此外，中国数学家和语言学家周海中给出了梅森素数分布的精确表达式，为人们寻找梅森素数提供了方便；这一研究成果被国际上命名为“周氏猜测”。 1……62……283……4964……8,1285……33,550,3366……8,589,869,0567……137,438,691,3288……2,305,843,008,139,952,1289……2,658,455,991,569,831,744,654,692,615,953,842,17610……191,561,942,608,236,107,294,793,378,084,303,638,130,997,321,548,169,21611……13,164,036,458,569,648,337,239,753,460,458,722,910,223,472,318,386,943,117,783,728,12812……14,474,011,154,664,524,427,946,373,126,085,988,481,573,677,491,474,835,889,066,354,349,131,199,152,128…………47 ……2^42643800 X （2^42643801-1)48 ……2^57885160 X (2^57885161-1)由于后面数字位数较多，例子只列到12个，第13个有314位。到第39个完全数有25674127位数，据估计它以四号字打出时需要一本字典大小的书。
什么是梅森素数?为什么要探索梅森素数?？
梅森素数是由梅森数而来。所谓梅森数，是指形如2ⁿ-1的一类数，其中指数n是素数，常记为Mn ，如果梅森数是素数，就称为梅森素数。用因式分解法可以证明，若2ⁿ-1是素数，则指数n也是素数。“梅森素数”（Mersenne prime）是指形如2^P-1的素数，如2^2-1=3、2^3-1=7、2^5-1=31等。早在2300年前,古希腊数学家欧几里得用反证法证明素数有无穷多个；他认为，其中一些素数可写成2^P-1的形式。由于2^P-1型素数具有独特的性质和无穷的魅力，千百年来一直吸引着众多的数学家和无数的业余数学爱好者对它进行探究。17 世纪法国数学家马林·梅森是他们中最杰出的探究者。由于梅森学识渊博、才华横溢、为人热情以及最早系统而深入地研究2^P-1型素数，为了纪念他，数学界将这种特殊形式的素数命名为“梅森素数”。迄今为止,人类仅发现51个梅森素数。这种素数珍奇而迷人,因而被人们称为“数学宝山上的钻石”。梅森素数历来是数论研究的一项重要内容,也是当今科学探索的热点和难点之一。2^P-1貌似简单,但探究难度却很大；当指数P值较大时，不仅需要高深的理论和纯熟的技巧，而且还需要进行艰巨的计算。1772年,有“数学英雄”美名的瑞士数学大师莱昂哈德·欧拉在双目失明的情况下，靠心算证明了2^31-1(即2147483647)是第8个梅森素数。这个具有10位的素数，堪称当时世界上已知的最大素数。在“手算笔录”的年代，人们历尽艰辛,仅找到12个梅森素数。而计算机的产生加速了梅森素数探究进程。1952年，美国数学家拉斐尔·鲁滨逊等人使用SWAC型计算机在短短的几个月内，就找到了5个梅森素数：2^521-1、2^607-1、2^1279-1、2^2203-1和2^2281-1。探索梅森素数的原因它促进了分布式计算技术的发展。从最新的17个梅森素数是在因特网项目中发现这一事实，可以想象到网络的威力。分布式计算技术使得用大量个人计算机去做本来要用超级计算机才能完成的项目成为可能，这是一个前景非常广阔的领域，它的探究还推动了快速傅立叶变换的应用。梅森素数在实用领域也有用武之地，现在人们已将大素数用于现代密码设计领域。其原理是：将一个很大的数分解成若干素数的乘积非常困难，但将几个素数相乘却相对容易得多，在这种密码设计中，需要使用较大的素数，素数越大，密码被破译的可能性就越小。
